Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Schnittmenge

Die Schnittmenge A ∩ B enthält alle Elemente, die zur Menge A und zugleich zur Menge B gehören.

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge A ∪ B enthält alle Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören.

Ist A eine Teilmenge der Grundmenge W, so bezeichnet  alle Elemente aus der

Grundmenge, die nicht zu A gehören.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Teilexperimenten besteht, nennt man mehrstufiges Zufallsexperiment.

Stellt man das Zufallsexperiment im Baumdiagramm dar, so gelten die beiden Pfadregeln.

1. Pfadregel

Man erhält die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten

längs des zugehörigen Pfades multipliziert.

2. Pfadregel

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehören.

Beispiel:

Aus einer Urne mit vier roten, drei blauen und einer grünen Kugel werden nacheinander zwei Kugeln gezogen.

Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: „genau eine blaue Kugel wird gezogen“ gilt:

Vierfeldertafel

Sind A und B Ereignisse der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments, so zerlegen die

Mengen

 ;

 ;

 ;

die Ergebnismenge Ω.

Bei der Vierfeldertafel werden die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in den folgenden

Tabellen eingetragen.

(Gelegentlich werden auch die absoluten Anzahlen eingetragen und entsprechend summiert.)

Jede Vierfeldertafel dient als Ausgangspunkt zweier Baumdiagramme, je nachdem ob zuerst

nach A und  oder zuerst nach B und  unterschieden wird.

Die hier fehlenden „bedingten Wahrscheinlichkeiten“ lassen sich berechnen, wie es im nächsten Abschnitt beschrieben wird.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P(A) ≠ 0 , so versteht man unter der

„bedingten Wahrscheinlichkeit“ PA (B) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.

Aus der Vierfeldertafel bzw. aus der Pfadregel ergibt sich:

Ist hier nach PB(A) gefragt, so empfiehlt sich die Anwendung einer Vierfeldertafel.